Günün Sözü

Günün Sözü

19 Haziran 2009 Cuma

"Gömleğin bir düğmesi yanlış iliklensin, diğerleri de yanlış olur."

Ana Menü

Wepmaster özel

Tasarımlar

Reklam Siteye Destek

İçin Reklamı Tıklayın

--------------------------

•Bilgi-avim•

Pagerank

 

BiLgi Dünyası

Türevin Anlamı (Mat-2)

 

TÜREVİN ANLAMI

 

A. TÜREVİN FİZİKSEL ANLAMIBir hareketlinin t saatte kaç km yol aldığı,B. TÜREVİN GEOMETRİK ANLAMI

Kural

y = f(x) fonksiyonunun x = x0 daki türevi

A(x0, y0) noktasındaki teğetinin eğimine eşittir.

f'(x0) = m = tana dır.

 

Kural

Eğimi m olan ve A(x0, y0) noktasından geçen doğrunun denklemi, olduğu için, y = f(x) eğrisinin A(x0, y0) noktasındaki

     

 

olur.

teğetinin denklemi,

 

Kural

Birbirine dik olan doğruların eğimleri çarpımı – 1 olduğu için, y = f(x) eğrisinin A(x0, y0) noktasındaki normalinin eğimi:

     

 

Buna bağlı olarak, y = f(x) eğrisinin A(x0, y0) noktasındaki

     

normalinin denklemi,

 

 

 

 

 

Her x1, x2 Î B için,

x1 < x2 iken f(x1) < f(x2) ise f(x) fonksiyonu B üzerinde artandır.

 

 

 

Her x1, x2 Î B için,

x1 < x2 iken f(x1) > f(x2) ise f(x) fonksiyonu B üzerinde azalandır.

 

C. ARTAN ve AZALAN FONKSİYONLAR1. Artan Fonksiyon bir fonksiyon olsun.2. Azalan Fonksiyon bir fonksiyon olsun.

Uyarı

Artan fonksiyonun türevi daima pozitiftir. Bu ifadenin tersi de doğrudur.

Azalan fonksiyonun türevi daima negatiftir. Bu ifadenin tersi de doğrudur.

 

 

3. Sabit Fonksiyon bir fonksiyon olsun.D. EKSTREMUM DEĞERLER ve BUNLARIN TÜREVLE İLİŞKİSİ1. Ekstremum Noktalar

 

Her x1, x2 Î B için, f(x1) = f(x2) ise f(x) fonksiyonu B üzerinde sabittir.

 

 

 

Her x Î (a, b) için,

     

olacak şekilde bir

p Î (a, b) varsa, f(p) ye yerel maksimum denir.

 bir fonksiyon ve
a, b Î A olsun.

 

Her x Î A için,

olacak şekilde bir p Î A varsa, f(p) ye mutlak maksimum değer denir.

bir fonksiyon ve a, b Î A olsun.

Her x Î (a, b) için,

     

olacak şekilde bir r Î (a, b) varsa, f(r) ye yerel minimum değer denir.

 

Her x Î A için,

olacak şekilde bir r Î A varsa, f(r) ye mutlak minimum değer denir.

 

Tanım

Fonksiyon maksimum ve minimum değerlerinin hepsine birden, fonksiyonun yerel ekstremum değerleri denir.

 

Kural

Fonksiyon ekstremum noktalarda türevli ise, türevi sıfırdır. Tersi her zaman doğru değildir.

 

 

2. Birinci Türevden Yararlanarak Ekstremum Noktaların Belirlenmesi

h > 0 olmak üzere,

 

ise y = f(x) fonksiyonu x = x0 da yerel maksimuma sahiptir. Yerel maksimum değer, f(x0) dır.

h > 0 olmak üzere,

ise y = f(x) fonksiyonu x = x0 da yerel minimuma sahiptir.

 

Yerel minimum değer, f(x0) dır.

 

Uyarı

Yukarıda verilen tanım türevlenebilir fonksiyonlar için doğrudur. Ancak y = f(x) fonksiyonu x = x0 da türevsiz olduğu hâlde x = x0 da yerel maksimuma ya da yerel minimuma sahip olabilir.

 

Sonuç

Birinci türevin sıfır olduğu noktada, türevin işareti değişiyorsa yerel maksimuma ya da yerel minimuma sahiptir.

Fonksiyonun türevinin işaret tablosunda soldan sağa doğru, işaretin – den + ya geçtiği noktada yerel minimum; işaretin + dan – ye geçtiği noktada yerel maksimum vardır.

 

 

3. İkinci Türevden Yararlanarak Ekstremum Noktaların Belirlenmesi

Kural

ise f(x) fonksiyonu x = x0 da yerel maksimuma sahiptir. Yerel maksimum değeri, f(x0) dır.

 

Kural

      

ise f(x) fonksiyonu x = x0 da yerel minimuma sahiptir. Yerel minimum değeri, f(x0) dır.

 

 

E. İKİNCİ TÜREVİN GEOMETRİK ANLAMI1. Konveks Eğrilerf, [a, b] aralığından ye tanımlı türevlenebilir bir fonksiyon olsun.2. Konkav Eğrilerf, [a, b] aralığından ye tanımlı türevlenebilir bir fonksiyon olsun.3. Dönüm (büküm) Noktasıf, sürekli olmak üzere, fonksiyonun konvekslikten konkavlığa ya da konkavlıktan konveksliğe geçtiği noktaya dönüm (büküm) noktası denir.

Uyarı

x = x0 noktasının dönüm noktası olması, x = x0 da ikinci türevin olmasını garanti etmez. Yani, dönüm noktasında türev tanımlı olmayabilir.

x = x0 ın ikinci türevin kökü olması, x = x0 ın dönüm noktası olmasını garanti etmez. Dönüm noktasında ikinci türevin işaret değiştirmesi gerekir.

x = x0 dönüm noktası ve bu noktada ikinci türev tanımlı ise, ikinci türev sıfırdır.

 

Uyarı

     

y = f(x) fonksiyonunun grafiğine göre c büküm noktasının apsisi ise aşağıdakiler söylenebilir.

 

 

 

 

 

1. (a < x < b ve d < x < e ) için fonksiyon azalandır.
Bu aralıkta f '(x) < 0 dır. 2. b < x < d için fonksiyon artandır. Bu aralıkta f '(x) > 0 dır. 3. a < x < c için f ''(x) > 0 dır. 4. x = b de f(x) in yerel minimumu, x = d de f(x) in yerel maksimumu vardır. Bu nedenle, f '(b) = 0 ve f '(d) = 0 dır.5. x = c de f(x) in dönüm noktası vardır. Bu nedenle,
f ''(c) = 0 dır.

 

 

[a, b] aralığında f ''(x) > 0 ise, f nin grafiği olan eğri konveks (dış bükey) dir. Diğer bir ifadeyle, bükülme yönü yukarı doğrudur. Eğri, teğetlerinin yukarısındadır.

Aşağıdaki grafiklerde verilen eğrilerin üçü de konvekstir.

 

 

 

 

a, b] aralığında f ''(x) < 0 ise, f nin grafiği olan eğri konkav (iç bükey) dir. Diğer bir ifadeyle, bükülme yönü aşağı doğrudur. Eğri, teğetlerinin altındadır.

Aşağıdaki grafiklerde verilen eğrilerin üçü de konkavdır.

 

 

 

 

Diğer bir ifadeyle, f nin grafiği olan eğrinin, eğrilik yönünün değiştiği noktaya, dönüm (büküm) noktası denir.

 

 

     

fonksiyonu ile verilsin.

Hareketlinin t anındaki hızı:

     

 

ve t anındaki ivmesi

     

 

olur. Diğer bir ifadeyle, yol fonksiyonunun birinci türevi anlık hızı; ikinci türevi ivmeyi verir.

 

 

     

y = f(x) fonksiyonunun A(x0, y0) noktasındaki teğetinin Ox ekseniyle yaptığı pozitif yönlü açının ölçüsü a olsun. Teğetin eğimi, tana ya eşit olduğu için:

      m = tana dır.

 

 

dizilerWebmasterim.ComGenelSiteni EkleHit-Kurdu

Site EkLe, Hit Kazan, Toplist, Hit Al, Hit Kazan Google Toplist, Googlelist, Google ListAradur.com | Arama Motoru

Bu web sitesi ücretsiz olarak Bedava-Sitem.com ile oluşturulmuştur. Siz de kendi web sitenizi kurmak ister misiniz?
Ücretsiz kaydol