BiLgi Dünyası

KARMAŞIK SAYILAR

I. KARMAŞIK SAYILAR KÜMESİ

     

B. İKİ KARMAŞIK SAYININ EŞİTLİĞİReel kısımları ve imajiner kısımları kendi aralarında eşit olan iki karmaşık sayı birbirine eşittir.

Kural

C. KARMAŞIK SAYILARIN ANALİTİK DÜZLEMDE BELİRTİLMESİReel kısmı a, imajiner kısmı b olan karmaşık sayının; z = a + ib şeklindeki gösterimine karmaşık sayının standart (cebirsel) biçimi,
Z(a, b) biçimindeki gösterimine kartezyen koordinatlarıyla gösterilmiş biçimi denir.z = a + bi karmaşık sayısının düzlemdeki görüntüsü (a, b) noktasıdır.D. KARMAŞIK SAYININ EŞLENİĞİ ve  i² = –1 olmak üzere,a + bi ve a + (–b)i karmaşık sayılarından birine diğerinin eşleniği denir.

Kural

E. KARMAŞIK SAYILARIN MUTLAK DEĞERİ (MODÜLÜ)Karmaşık düzlemde, bir karmaşık sayıya karşılık gelen noktanın başlangıç noktasına (orijine) olan uzaklığına bu sayının mutlak değeri veya modülü denir.z karmaşık sayısının mutlak değeri |z| ile gösterilir.

 

 

 

 

i² = –1 olmak üzere,

     

karmaşık sayıları verilmiş olsun. Bu durumda,

     

 

2. Çıkarma İşlemi      z + (–w) = z – w3. Çarpma İşlemiKarmaşık sayılarda çarpma işlemi, i² = –1 olduğu göz önüne alınarak, reel sayılardakine benzer şekilde yapılır.

Sonuç

i2 = –1 ve z = a + bi olmak üzere,

 

Kural

i2 = –1 ve n tam sayı olmak üzere,

 

 

 

z₁ × (z₂)^–1 sayısına z₁ in z₂ ye bölümü denir ve biçiminde gösterilir.

 

z₁ = a + bi ve z₂ = c + di ise,

 

 

 

 

 

 

 

 

     

Kural

z, değişen değerler alan bir karmaşık sayı; w sabit bir karmaşık sayı ve r, pozitif reel sayı olmak koşuluyla       |z – w| = reşitliğini gerçekleyen z noktalarının kümesi, karmaşık düzlemde, merkezi w ye karşılık gelen nokta ve yarıçapı r olan bir çember belirtir.      |z – w| < reşitsizliğini gerçekleyen z noktalarının kümesi, karmaşık düzlemde, merkezi w ye karşılık gelen nokta ve yarıçapı r olan çemberin iç bölgesini belirtir.

 

 

 

 

      argümenti denir ve       arg(z) ile gösterilir.esas argüment denir. Bu durumda esas argüment; negatif olmayan ve 360° den ( radyandan) küçük bir değerdir.

Sonuç

i2 = –1 olmak üzere, z = a + bi olsun. z nin, mutlak değeri (orijine uzaklığı) |z| = r ve esas argümenti q olmak üzere,       z = |z| × (cosq + isinq) biçiminde yazılmasına, z karmaşık sayının kutupsal (trigonometrik) gösterimi denir. z = |z| × (cosq + isinq) ifadesi z = r × cisq biçiminde kısaca gösterilebilir.

 

Tanım

i2 = –1 olmak üzere, z = a + bi olsun. Karmaşık sayının mutlak değeri ile argümentinden oluşan sıralı ikiliye bu sayının kutupsal koordinatları denir. z nin kutupsal koordinatları (|z|, q) veya (r, q) biçiminde gösterilir.

 

Kural

olmak üzere,       Buna göre, karmaşık sayıların çarpımının argümenti, bu sayıların argümentleri toplamına eşittir. Bu durumda,

 

Kural

olmak üzere,       Buna göre, iki karmaşık sayının bölümünün argümenti, bu sayıların argümentleri farkına eşittir. Bu durumda,

 

Kural

 

Sonuç

 

Sonuç

Buna göre, bir karmaşık sayının esas argümentinin ölçüsü radyan türünden a ise, bu karmaşık sayının eşleniğinin esas argümenti 2p – a dır.

 

Kural

z0 = a + bi karmaşık sayısının karmaşık düzlemdeki görüntüsü M(a, b) noktası olsun. arg( koşulunu sağlayan z karmaşık sayılarının görüntüsü MP yarı doğrusudur.       z – z0) = q

 

 

 

 

 

 

biçiminde de ifade edilebilir.

 

A. ORİJİN ETRAFINDA DÖNDÜRMEz = r × cisq karmaşık sayısının orijin etrafında pozitif yönde a kadar döndürülmesiyle elde edilen karmaşık sayı, v = r × cis(q + a) olur. Bu durum,      v = z × (cosa + isina)

Uyarı

Bir karmaşık sayıyı negatif yönde q derece kadar döndürmek, o sayıyı pozitif yönde 360° – q kadar döndürmektir.

 

 

B. BİR KARMAŞIK SAYININ KÖKLERİ olmak üzere,

Sonuç

z2 = w eşitliğini sağlayan z sayıları birbirinin toplama işlemine göre tersidir. Yani, z2 = w eşitliğini sağlayan z sayıları z1 ile z2 ise, z1 = –z2 dir.

 

Kural

zn = w denkleminin kökleri aşağıdaki eşitliği sağlayan zk sayısında k yerine, 0, 1, 2, ... , (n – 1) yazılarak bulunur.

 

zⁿ = u denklemini sağlayan z sayısına u sayısının n inci kuvvetten kökü denir.

 

     

 

 

z nin karmaşık düzlemdeki görüntüsü M(a, b) noktasıdır. z karmaşık sayısını orijine birleştiren doğrunun reel eksenle (Ox ekseniyle) pozitif yönde yaptığı açıya, z karmaşık sayısının

 

olsun. Bu durumda,

şeklinde gösterilir.

Açının esas ölçüsü olan değere de

Yukarıdaki şekilde, OHM dik üçgeninden,

     

yazılır. Buradan,

 

II. KARMAŞIK SAYILARIN KUTUPSAL (TRİGONOMETRİK) GÖSTERİMİi² = –1 olmak üzere, z = a + bi olsun.

 

z sayısına karşılık gelen nokta A, w sayısına karşılık gelen nokta B olsun. Buna göre,

 

4. Bölme İşlemiKarmaşık sayılarda bölme işlemi, pay ile paydanın, paydanın eşleniği ile genişletilmesiyle yapılır. Yani,5. Eşlenik ve Mutlak Değerle İlgili Bazı Özelliklerz₁ ve z₂ birer karmaşık sayı olmak üzere,G. KARMAŞIK DÜZLEMDE İKİ NOKTA ARASINDAKİ UZAKLIKz = a + bi ve w = c + di  olsun.      |z – w|ifadesinin değeri z ile w sayısı arasındaki uzaklığa eşittir.

 

olduğuna göre, z sayısını w sayısının toplama işlemine göre tersi ile toplamak, z sayısından w sayısını çıkarmak demektir. Buna göre,

z ile w nin farkı, reel kısımların birbiri ile sanal kısımların birbiri ile farkına eşittir. Reel kısımların farkı, sonucun reel kısmını; sanal kısımların farkı, sonucun sanal kısmını verir. Buna göre,

i² = –1 olmak üzere,

     

karmaşık sayıları verilmiş olsun. Bu durumda

     

 

 

 

z = a + bi ve w = c + di  olsun. Buna göre,

 

Ox eksenine reel eksen, Oy eksenine de sanal (imajiner) eksen diyerek karmaşık sayıları gösterebileceğimiz karmaşık düzlemi elde ederiz.

Karmaşık sayılarla karmaşık düzlemin noktaları bire bir eşlenebilir.

z karmaşık sayısının eşleniği ile gösterilir.

Buna göre,