Günün Sözü


Günün Sözü

19 Haziran 2009 Cuma

"Gömleğin bir düğmesi yanlış iliklensin, diğerleri de yanlış olur."


Reklam Siteye Destek

İçin Reklamı Tıklayın

--------------------------


•Bilgi-avim


Pagerank


 


BiLgi DŁnyası

Karmaşık Sayılar (Mat-2)

 

KARMAŞIK SAYILAR

 

I. KARMAŞIK SAYILAR KÜMESİ

Tanım

sayısına sanal sayı (imajiner sayı) birimi denir. ve

ile gösterilir.

 

Uyarı

a, b pozitif gerçel sayı vex, y negatif gerçel sayı olmak üzere,

 

 

 

 

 

olmak üzere,

i0 = 1 dir.

i1 = i dir.

i2 = –1 dir.

i3 = i2 × i1 = (–1) × i = –i dir.

i4 = i2 × i2 = (–1) × (–1) = 1 dir.

i5 = i4 × i1 = 1 × i = i dir.

Görüldüğü gibi i nin kuvvetleri ; 1, i, –1, –i değerlerinden birine eşit olmaktadır.

 

A. i NİN KUVVETLERİ     

Sonuç

Sanal sayı biriminin (i nin) kuvveti x olsun. x tam sayısı 4 ile bölündüğünde,

kalan 0 ise, ix ifadesinin eşiti 1,

kalan 1 ise, ix ifadesinin eşiti i,

kalan 2 ise, ix ifadesinin eşiti –1,

kalan 3 ise, ix ifadesinin eşiti –i dir.

Buna göre, n tam sayı olmak üzere,

i4n= 1,

i4n+1 = i,

i4n+2 = –1,

i4n+3 = –i dir.

 

Tanım

a ve b birer reel (gerçel) sayı ve olmak üzere,

 

Karmaşık sayılar kümesi ile gösterilir. Buna göre,

z =

 

 

z =

 

 

şeklinde gösterilir.

z = a + bi şeklinde ifade edilen z sayısına karmaşık (kompleks) sayı denir.a + bi karmaşık sayısında;a ya karmaşık sayının reel (gerçel) kısmı,b ye karmaşık sayının imajiner (sanal) kısmı denir.a + bi iseRe(z) = aİm(z) = b

 

Uyarı

Her reel (gerçel) sayı imajiner kısmı 0 (sıfır) olan bir karmaşık sayıdır.

Buna göre, karmaşık sayılar kümesi reel sayılar kümesini kapsar. Yani, dir.

 

 

B. İKİ KARMAŞIK SAYININ EŞİTLİĞİReel kısımları ve imajiner kısımları kendi aralarında eşit olan iki karmaşık sayı birbirine eşittir.

Kural

 

 

 

C. KARMAŞIK SAYILARIN ANALİTİK DÜZLEMDE BELİRTİLMESİReel kısmı a, imajiner kısmı b olan karmaşık sayının; z = a + ib şeklindeki gösterimine karmaşık sayının standart (cebirsel) biçimi,
Z(a, b) biçimindeki gösterimine kartezyen koordinatlarıyla gösterilmiş biçimi denir.
z = a + bi karmaşık sayısının düzlemdeki görüntüsü (a, b) noktasıdır.D. KARMAŞIK SAYININ EŞLENİĞİ ve  i2 = –1 olmak üzere,a + bi ve a + (–b)i karmaşık sayılarından birine diğerinin eşleniği denir.

Kural

Bir karmaşık sayının eşleniğinin eşleniği kendisidir.

Buna göre,

     

 

 

Kural

Reel kat sayılı, ax2 + bx + c = 0 ikinci dereceden denkleminin köklerinden biri m + ni karmaşık sayısı ise diğeri m – ni sayısıdır.

 

 

E. KARMAŞIK SAYILARIN MUTLAK DEĞERİ (MODÜLÜ)Karmaşık düzlemde, bir karmaşık sayıya karşılık gelen noktanın başlangıç noktasına (orijine) olan uzaklığına bu sayının mutlak değeri veya modülü denir.z karmaşık sayısının mutlak değeri |z| ile gösterilir.

 

 

Yandaki dik üçgende Pisagor teoreminden de,

dir.

 

 

 

 

 

i2 = –1 olmak üzere,

     

karmaşık sayıları verilmiş olsun. Bu durumda,

     

 

2. Çıkarma İşlemi      z + (–w) = z – w3. Çarpma İşlemiKarmaşık sayılarda çarpma işlemi, i2 = –1 olduğu göz önüne alınarak, reel sayılardakine benzer şekilde yapılır.

Sonuç

i2 = –1 ve z = a + bi olmak üzere,

     

 

Kural

i2 = –1 ve n tam sayı olmak üzere,

 

 

 

z1 × (z2)–1 sayısına z1 in z2 ye bölümü denir ve biçiminde gösterilir.

 

z1 = a + bi ve z2 = c + di ise,

 

 

 

 

 

 

 

 

     

Kural

z, değişen değerler alan bir karmaşık sayı; w sabit bir karmaşık sayı ve r, pozitif reel sayı olmak koşuluyla

      |z – w| = reşitliğini gerçekleyen z noktalarının kümesi, karmaşık düzlemde, merkezi w ye karşılık gelen nokta ve yarıçapı r olan bir çember belirtir.      |z – w| < reşitsizliğini gerçekleyen z noktalarının kümesi, karmaşık düzlemde, merkezi w ye karşılık gelen nokta ve yarıçapı r olan çemberin iç bölgesini belirtir.

 

 

 

 

 

 

 

      argümenti denir ve       arg(z) ile gösterilir.esas argüment denir. Bu durumda esas argüment; negatif olmayan ve 360° den ( radyandan) küçük bir değerdir.

Sonuç

i2 = –1 olmak üzere, z = a + bi olsun. z nin, mutlak değeri (orijine uzaklığı) |z| = r ve esas argümenti q olmak üzere,

      z = |z| × (cosq + isinq)

biçiminde yazılmasına, z karmaşık sayının kutupsal (trigonometrik) gösterimi denir.

z = |z| × (cosq + isinq) ifadesi z = r × cisq biçiminde kısaca gösterilebilir.

 

Tanım

i2 = –1 olmak üzere, z = a + bi olsun.

Karmaşık sayının mutlak değeri ile argümentinden oluşan sıralı ikiliye bu sayının kutupsal koordinatları denir. z nin kutupsal koordinatları (|z|, q) veya (r, q) biçiminde gösterilir.

 

Kural

           

olmak üzere,

     

Buna göre, karmaşık sayıların çarpımının argümenti, bu sayıların argümentleri toplamına eşittir. Bu durumda,

 

 

Kural

     

olmak üzere,

     

Buna göre, iki karmaşık sayının bölümünün argümenti, bu sayıların argümentleri farkına eşittir. Bu durumda,

     

 

Kural

 

Sonuç

 

Sonuç

     

Buna göre, bir karmaşık sayının esas argümentinin ölçüsü radyan türünden a ise, bu karmaşık sayının eşleniğinin esas argümenti 2pa dır.

 

Kural

z0 = a + bi karmaşık sayısının karmaşık düzlemdeki görüntüsü M(a, b) noktası olsun.

arg(

koşulunu sağlayan z karmaşık sayılarının görüntüsü MP yarı doğrusudur.

     

z – z0) = q

 

 

 

 

 

 

biçiminde de ifade edilebilir.

 

A. ORİJİN ETRAFINDA DÖNDÜRMEz = r × cisq karmaşık sayısının orijin etrafında pozitif yönde a kadar döndürülmesiyle elde edilen karmaşık sayı, v = r × cis(q + a) olur. Bu durum,      v = z × (cosa + isina)

Uyarı

Bir karmaşık sayıyı negatif yönde q derece kadar döndürmek, o sayıyı pozitif yönde 360° – q kadar döndürmektir.

 

 

B. BİR KARMAŞIK SAYININ KÖKLERİ olmak üzere,

Sonuç

z2 = w eşitliğini sağlayan z sayıları birbirinin toplama işlemine göre tersidir.

Yani, z2 = w eşitliğini sağlayan z sayıları z1 ile z2 ise,

z1 = –z2 dir.

 

Kural

zn = w denkleminin kökleri aşağıdaki eşitliği sağlayan zk sayısında k yerine, 0, 1, 2, ... , (n – 1) yazılarak bulunur.

 

zn = u denklemini sağlayan z sayısına u sayısının n inci kuvvetten kökü denir.

 

     

 

 

z nin karmaşık düzlemdeki görüntüsü M(a, b) noktasıdır. z karmaşık sayısını orijine birleştiren doğrunun reel eksenle (Ox ekseniyle) pozitif yönde yaptığı açıya, z karmaşık sayısının

 

olsun. Bu durumda,

şeklinde gösterilir.

Açının esas ölçüsü olan değere de

Yukarıdaki şekilde, OHM dik üçgeninden,

     

yazılır. Buradan,

 

II. KARMAŞIK SAYILARIN KUTUPSAL (TRİGONOMETRİK) GÖSTERİMİi2 = –1 olmak üzere, z = a + bi olsun.

 

z sayısına karşılık gelen nokta A, w sayısına karşılık gelen nokta B olsun. Buna göre,

 

4. Bölme İşlemiKarmaşık sayılarda bölme işlemi, pay ile paydanın, paydanın eşleniği ile genişletilmesiyle yapılır. Yani,5. Eşlenik ve Mutlak Değerle İlgili Bazı Özelliklerz1 ve z2 birer karmaşık sayı olmak üzere,G. KARMAŞIK DÜZLEMDE İKİ NOKTA ARASINDAKİ UZAKLIKz = a + bi ve w = c + di  olsun.      |z – w|ifadesinin değeri z ile w sayısı arasındaki uzaklığa eşittir.

 

olduğuna göre, z sayısını w sayısının toplama işlemine göre tersi ile toplamak, z sayısından w sayısını çıkarmak demektir. Buna göre,

z ile w nin farkı, reel kısımların birbiri ile sanal kısımların birbiri ile farkına eşittir. Reel kısımların farkı, sonucun reel kısmını; sanal kısımların farkı, sonucun sanal kısmını verir. Buna göre,

i2 = –1 olmak üzere,

     

karmaşık sayıları verilmiş olsun. Bu durumda

     

 

 

 

z = a + bi ve w = c + dolsun. Buna göre,

 

F. KARMAŞIK SAYILARDA İŞLEMLER1. Toplama İşlemiKarmaşık sayılar toplanırken, reel kısımlar kendi aralarında ve sanal kısımlar kendi aralarında toplanır. Buna göre,

 

Ox eksenine reel eksen, Oy eksenine de sanal (imajiner) eksen diyerek karmaşık sayıları gösterebileceğimiz karmaşık düzlemi elde ederiz.

Karmaşık sayılarla karmaşık düzlemin noktaları bire bir eşlenebilir.

 

 

 

 

 

z karmaşık sayısının eşleniği ile gösterilir.

Buna göre,

 

     

 

 






Bu sayfa hakkında yorum ekle:
İsminiz:
E-mail adresiniz:
Siteniz:
Mesajın:

 

dizilerWebmasterim.ComGenelSiteni EkleHit-Kurdu

Site EkLe, Hit Kazan, Toplist, Hit Al, Hit Kazan Google Toplist, Googlelist, Google ListAradur.com | Arama Motoru

=> Sen de ücretsiz bir internet sitesi kurmak ister misin? O zaman burayı tıkla! <=