BiLgi Dünyası

Diziler (Mat-2)

DİZİLER

A. TANIM Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi adı verilir.

1. Genel terimi belirtilmeyen sayı grupları dizi meydana getirmezler. 2. Diziler değer kümesine göre adlandırılır. Değer kümesi; reel sayılar kümesi olan dizi reel sayı dizisi, karmaşık sayılar olan dizi karmaşık sayı dizisi adını alır.

Tanım kümesi A_k olan dizilere sonlu dizi denir.

a_n = b_nE. DİZİLERLE YAPILAN İŞLEMLER(a_n) ve (b_n) birer dizi, c bir reel sayı olmak üzere,F. MONOTON DİZİLERGenel terimi a_n olan bir dizide eğer her için,

dizisinin monotonluk durumu aşağıdaki şekilde incelenir:

1. Paydanın kökü (cn + d = 0 denkleminin kökü) 1 den küçük ise dizi monotondur.a) ad – bc > 0 ise dizi monoton artandır. b) ad – bc < 0 ise dizi monoton azalandır. c) ad – bc = 0 ise dizi sabittir. 2. Paydanın kökü (cn + d = 0 denkleminin kökü) 1 den büyük ise dizi monoton değildir.

Bu durumda,

(k_n) artan bir pozitif tam sayı dizisi olmak üzere, dizisine (a_n) dizisinin alt dizisi denir ve biçiminde gösterilir.

açık aralığına a nın e (epsilon) komşuluğu denir.

Bu aralığı (kümeyi) T ile gösterirsek,

olur.

T kümesi sayı doğrusunda aşağıdaki gibi gösterilebilir.

G. ALT DİZİBir (a_n) dizisi verilmiş olsun.H. DİZİLERİN YAKINSAKLIĞI VE IRAKSAKLIĞI1. Komşuluka ve e birer reel sayı ve e > 0 olmak üzere,

Uyarı

1. (a_n) dizisinin, a nın e komşuluğundaki terimleri,

eşitsizliğini sağlar.2. (a_n) dizisinin, a nın e komşuluğu dışındaki terimleri,

eşitsizliğini sağlar.

Her e pozitif reel sayısı için, (a_n) dizisinin hemen hemen her terimi, a nın e komşuluğunda bulunuyorsa, (a_n) dizisi a ya yakınsıyor denir.

(a_n) dizisi a sayısına yakınsıyorsa; (a_n) dizisine yakınsak dizi denir.

Yakınsak olmayan dizilere ıraksak diziler denir.

lim(a_n) = a ya da (a_n) ® a

biçiminde gösterilir.

I. YAKINSAK DİZİLER ve IRAKSAK DİZİLER(a_n) bir reel sayı dizisi, a sabit bir reel sayı olsun.J. DİZİLERİN LİMİTİ1. Limitin Tanımı(a_n) bir reel sayı dizisi olsun.(a_n) dizisi sabit bir a reel sayısına yakınsıyor ise, a sayısına (a_n) dizisinin limiti denir.

Kural

1. (a_n) dizisi bir a reel sayısına yakınsıyorsa, bu dizinin her alt dizisi de a reel sayısına yakınsar. Bunun karşıtı doğru değildir.2. Bir dizinin limiti varsa bir tanedir. 3. olmak üzere, (a_n) = (c) ise,

lim(a_n) = lim(c) = c dir.

(Her sabit dizi yakınsaktır.)

2. Limitle İlgili Özellikler

Kural

(a_n) ve (b_n) birer dizi; a, b, c birer reel sayı olmak üzere,

K. GENİŞLETİLMİŞ REEL SAYILAR KÜMESİReel sayılar kümesine, artı sonsuz (+¥) ve eksi sonsuz (–¥) kavramlarının katılmasıyla elde edilen1. Iraksak Diziler

1. Her K reel sayısı için, (a_n) dizisinin hemen hemen her terimi (+¥) un K komşuluğunda ise (a_n) dizisinin limiti (+¥) dur veya (a_n) dizisi (+¥) a ıraksar denir.2. Her K reel sayısı için, (a_n) dizisinin hemen hemen her terimi (–¥) un K komşuluğunda ise (a_n) dizisinin limiti (–¥) dur veya (a_n) dizisi (–¥) a ıraksar denir. 3. (+¥) a veya (–¥) a ıraksayan dizilere ıraksak diziler denir.

2. Genişletilmiş Reel Sayılar Kümesinde İşlemler

Kural

Dizilerin limitleri bulunurken elde edilen,

ifadeleri belirsizdir.

Kural

(a_n) bir dizi; c bir reel sayı olmak üzere,

Kural

(a_n) bir dizi olmak üzere,

Uyarı

(1ⁿ) sabit dizisi ile dizisi birbirine karıştırılmamalıdır.

Uyarı

Genel terimi rasyonel kesir olan dizilerin limitinin hesaplanmasında, aşağıdaki sıralama kullanılır.

Kural

(a_n) pozitif terimli bir dizi olsun.

3. Belirsizlik DurumlarıBu tür belirsizlikleri daha önce verdiğimiz kural yardımı ile sonuçlandırabiliriz.b. 0 . ¥ BelirsizliğiBu tür belirsizlikler, belirsizliğine dönüştürülerek limit bulunur.c. ¥ – ¥ Belirsizliği

Bu belirsizliği ortadan kaldırmak için, (a_n) dizisinin payı ve paydası ifadesiyle genişletilir.

Uyarı

dizisinde (+¥) – (+¥) belirsizliği vardır.

dizisinde belirsizlik söz konusu

değildir. Bu dizide (+¥) + (+¥) durumu vardır.

(+¥) + (+¥) = +¥

olduğu için, bu dizi +¥ a ıraksar.

Kural

a > 0 olmak üzere,

olur.

L. SINIRLI DİZİLER1. Üst SınırHer için, a_n £ M olacak şekilde bir M reel sayısı varsa (a_n) dizisine üstten sınırlıdır denir.Üstten sınırlı bir dizinin üst sınırlarından en küçük olanına dizinin en küçük üst sınırı (Eküs) denir.2. Alt SınırHer için, m £ a_n olacak şekilde bir m reel sayısı varsa (a_n) dizisine alttan sınırlıdır denir.Alttan sınırlı bir dizinin alt sınırlarından en büyük olanına dizinin en büyük alt sınırı (Ebas) denir.3. Sınırlı DizilerHem alttan hem de üstten sınırlı olan dizilere, sınırlı diziler denir.

1. Sınırlı bir dizide Eküs ve Ebas dizinin elemanı olmayabilir.2. Monoton bir dizinin yakınsak olması için gerek ve yeter koşul, sınırlı olmasıdır. 3. Yakınsak her dizi sınırlıdır. Bu ifadenin karşıtı doğru olmayabilir. 4. Monoton ve yakınsak bir dizinin, ilk terimi ile limitinden; büyük olanı Eküs, küçük olanı Ebas tır.